Mevlevihane, Şahkulu Mahallesi’nde Galip Dede Caddesi’ndedir. “Kulekapı Mevlevihanesi” veya halk arasında “Galib Dede Dergahı” olarak da bilinen Galata Mevlevihanesi, İstanbul’daki ilk büyük Mevlevi kuruluşudur. II. Bayezid dönemi (1481-1512) vezirlerinden İskender Paşa’nın Galata sırtlarındaki av çiftliğinde 1491′de inşa edilmiştir.
Mevlana’nın torunlarından Semai Mehmet Dede’nin isteğiyle kurulan mevlevihane, bir süre sonra Halveti dergahına dönüştürülmüş, ancak 18. yy. başlarında Sırrı Abdi Dede’nin çabalarıyla yeniden mevlevihane olmuştur. 1765 yangınından sonra yenilenmiş, III. Selim  ve Abdülmecid zamanında onarılmıştır. Çeşitli işlevdeki yapılarıyla (Haletefendi kütüphanesi, Haletefendi sebili, Haletefendi türbesi, Hadikat-ül-ervah (ruhların bahçesi, dervişlerin toplanıp coşkuya vardıkları yer), hamuşhane (sessizler evi yani kabristan), mutfak, Hasan Ağa Çeşmesi, semahane, harem dairesi ve çamaşırhane) bir külliye oluşturan Galata Mevlevihanesi dönemin önemli kuruluşlarındandı.
Osmanlı sultanlarının da katıldığı Türk sanat müziği alemleri pek çok sanatçının yetişmesine katkıda bulunmuştur. Bunlardan bazıları: Nayi Osman Dede, Sırrı Abdülbaki Dede, Şeyh Galip Dede, Ataullah Dede, Neyzen Şeyda Veli Dede, Leyla Hanım vb.’dir. İsmail Ankaravi, Şeyh Galip’in türbeleriyle, İbrahim Müteferrika’nın mezarları buradadır.
1925′te tekke ve zaviyelerin kapatılmasıyla yapılar bazı değişikliklere tabi tutulmuş, hazirenin bir bölümüne Beyoğlu evlendirme dairesi yapılmıştır. Haletefendi kütüphanesi ve sebili de karakol olarak kullanılmıştır. Sonradan Eski Eserler ve Müzeler Genel Müdürlüğü’ne tahsis edilmiş ve burada Türk ve İslam Eserleri Müzesi yönetiminde yeni kurulacak bir müzenin hazırlıklarına başlanmıştır. “Divan Edebiyatı Müzesi” olarak da 1973′te ziyarete açılmıştır. Müzenin eserleri, Türk ve İslam Eserleri Müzesi koleksiyonlarından, satın alma ve özel bağışlarla sağlanmıştır.
Müzik aletleri, Mevlevi kıyafetleri, tarikat taçları, 18-19. yüzyıllarda değişik tekniklerde işlenmiş Banaluka seccadeleri, gümüş şamdanlar, rahleler müzenin bellibaşlı eserleridir. Bunların yanı sıra müzenin 194 adet zengin bir divan koleksiyonu vardır.  Günümüzde müze açık olup, belli zamanlarda tertiplenen sema gösterileriyle de  ziyaretçilere mistik duygular yaşatmaktadır.